Упр.29.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х + sin 2x + sin 3x + sin 4x + … + sin nx = (sin ((n+1)x)/2 sin nx/2) / sin x/2; б) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x + … + cos nx = (cos ((n+1)x)/2 sin nx/2) / sin x/2.

а) Преобразуем левую часть:

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots+\sin nx = \frac{\sin x\sin \frac{x}{2}+\sin 2x\sin \frac{x}{2}+\cdots+\sin nx\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$

Используем формулу произведения:

$$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B). $$

Тогда

$$ \sin kx\sin \frac{x}{2} = \frac{\cos\left(\frac{(2k-1)x}{2}\right)-\cos\left(\frac{(2k+1)x}{2}\right)}{2}. $$

Сумма телескопируется:

$$ \sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx = \frac{ \left(\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}\right) +\left(\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}\right) +\cdots +\left(\cos \frac{(2n-1)x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}\right) }{2\sin \frac{x}{2}}. $$

$$ = \frac{\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}. $$

По формуле

$$ \cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} $$

получаем

$$ \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{(2n+1)x}{2} = 2\sin \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}. $$

Следовательно,

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x+\cdots+\sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}\cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$

б) Аналогично:

$$ \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots+\cos nx = \frac{\sin \frac{x}{2}\cos x+\sin \frac{x}{2}\cos 2x+\cdots+\sin \frac{x}{2}\cos nx}{\sin \frac{x}{2}}. $$

Используем формулу

$$ 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B). $$

Тогда

$$ \sin \frac{x}{2}\cos kx = \frac{\sin \frac{(2k+1)x}{2}-\sin \frac{(2k-1)x}{2}}{2}. $$

Сумма телескопируется:

$$ \cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx = \frac{ \left(\sin \frac{3x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right) +\left(\sin \frac{5x}{2}-\sin \frac{3x}{2}\right) +\cdots +\left(\sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{(2n-1)x}{2}\right) }{2\sin \frac{x}{2}}. $$

$$ = \frac{\sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}. $$

По формуле

$$ \sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2} $$

получаем

$$ \sin \frac{(2n+1)x}{2}-\sin \frac{x}{2} = 2\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}. $$

Значит,

$$ \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots+\cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$

Ответ

$$ \sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx = \frac{\sin \frac{(n+1)x}{2}\cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, $$
$$ \cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\cdot \sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}. $$