Упр.29.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: cos2 (45° — a) — cos2 (60° + a) — cos 75° sin (75° — 2a) = sin 2a.

Подробный ответ

Преобразуем левую часть тождества:

$$ \cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a). $$

Используем формулу понижения степени $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$ и формулу произведения в сумму $$\sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}.$$

$$ \cos^2(45^\circ-a)=\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}=\frac{1+\sin2a}{2}, $$

$$ \cos^2(60^\circ+a)=\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2} =\frac{1+\cos(90^\circ+(30^\circ+2a))}{2} =\frac{1-\sin(30^\circ+2a)}{2}, $$

$$ \cos75^\circ\sin(75^\circ-2a) =\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2} =\frac{\sin(150^\circ-2a)-\sin2a}{2}. $$

Тогда

$$ \begin{aligned} &\cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a) \\ &=\frac{1+\sin2a}{2}-\frac{1-\sin(30^\circ+2a)}{2}-\frac{\sin(150^\circ-2a)-\sin2a}{2} \\ &=\frac{\sin2a+\sin(30^\circ+2a)-\sin(150^\circ-2a)+\sin2a}{2}. \end{aligned} $$

Так как $$\sin(150^\circ-2a)=\sin(30^\circ+2a),$$ то получаем

$$ \frac{2\sin2a}{2}=\sin2a. $$

Следовательно, тождество верно.