Упр.29.1 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Представьте в виде суммы: a) sin 23° sin 32°; б) cos пи/12 cos пи/8; в) sin 14° cos 16°; г) 2 sin пи/8 cos пи/5.

Используем формулы произведения тригонометрических функций:

$$\sin \alpha \sin \beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}$$

$$\cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}$$

$$\sin \alpha \cos \beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}$$

1. $$\sin 23^\circ \sin 32^\circ=\frac{\cos(32^\circ-23^\circ)-\cos(32^\circ+23^\circ)}{2}=\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2}$$

2. $$\cos \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{8}=\frac{\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{8}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{12}\right)}{2}$$

   $$=\frac{\cos \frac{5\pi}{24}+\cos \frac{\pi}{24}}{2}$$

3. $$\sin 14^\circ \cos 16^\circ=\frac{\sin(14^\circ+16^\circ)+\sin(14^\circ-16^\circ)}{2}$$

   $$=\frac{\sin 30^\circ+\sin(-2^\circ)}{2}=\frac{\sin 30^\circ-\sin 2^\circ}{2}$$

4. $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{5}=2\cdot \frac{\sin\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{5}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\pi}{5}\right)}{2}$$

   $$=\sin \frac{13\pi}{40}+\sin\left(-\frac{3\pi}{40}\right)=\sin \frac{13\pi}{40}-\sin \frac{3\pi}{40}$$

Ответ

а) $$\frac{\cos 9^\circ-\cos 55^\circ}{2}$$; б) $$\frac{\cos \frac{5\pi}{24}+\cos \frac{\pi}{24}}{2}$$; в) $$\frac{\sin 30^\circ-\sin 2^\circ}{2}$$; г) $$\sin \frac{13\pi}{40}-\sin \frac{3\pi}{40}$$.