Упр.28.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 5х + 2 sin 6x + sin 7х; б) 2 cos х + cos 2х + cos 4х.

а) Преобразуем сумму, используя формулу

$$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$ \sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x =2\sin 6x+\bigl(\sin 5x+\sin 7x\bigr) $$

$$ =2\sin 6x+2\sin 6x\cos x =2\sin 6x(1+\cos x). $$

Используем формулу

$$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}.$$

Получаем

$$ \sin 5x+2\sin 6x+\sin 7x =2\sin 6x\cdot 2\cos^2 \frac{x}{2} =4\sin 6x\cos^2 \frac{x}{2}. $$

б) Аналогично применим формулу суммы косинусов:

$$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}.$$

Тогда

$$ 2\cos x+\cos 2x+\cos 4x =2\cos x+\bigl(\cos 2x+\cos 4x\bigr) $$

$$ =2\cos x+2\cos 3x\cos x =2\cos x(1+\cos 3x). $$

Используем формулу

$$1+\cos 3x=2\cos^2 \frac{3x}{2}.$$

Получаем

$$ 2\cos x+\cos 2x+\cos 4x =2\cos x\cdot 2\cos^2 \frac{3x}{2} =4\cos x\cos^2 \frac{3x}{2}. $$

Ответ

а) $$4\sin 6x\cos^2 \frac{x}{2}$$

б) $$4\cos x\cos^2 \frac{3x}{2}$$