Упр.28.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) tg 25° + tg 35°; б) tg пи/5 — tg пи/10; в) tg 20° + tg 40°; г) tg пи/3 — tg пи/4.

1. Используем формулу суммы тангенсов:

   $$\tg \alpha+\tg \beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}.$$

   Тогда

   $$\tg 25^\circ+\tg 35^\circ=\frac{\sin(25^\circ+35^\circ)}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}.$$

2. Аналогично:

   $$\tg \frac{\pi}{5}-\tg \frac{\pi}{10}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{5}-\frac{\pi}{10}\right)}{\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{\pi}{10}}=\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{\pi}{10}}.$$

3. Для третьего выражения:

   $$\tg 20^\circ+\tg 40^\circ=\frac{\sin(20^\circ+40^\circ)}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}.$$

4. И наконец:

   $$\tg \frac{\pi}{3}-\tg \frac{\pi}{4}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \frac{\pi}{3}\cdot \cos \frac{\pi}{4}}=\frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3}\cdot \cos \frac{\pi}{4}}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{3}}{2\cos 25^\circ \cdot \cos 35^\circ}$$;
б) $$\frac{\sin \frac{\pi}{10}}{\cos \frac{\pi}{5}\cdot \cos \frac{\pi}{10}}$$;
в) $$\frac{\sqrt{3}}{2\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ}$$;
г) $$\frac{\sin \frac{\pi}{12}}{\cos \frac{\pi}{3}\cdot \cos \frac{\pi}{4}}$$.