Упр.28.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Во сколько раз: a) число (sin 70° + sin 50°)2 больше числа sin2 80°; б) число (cos 65° + sin 65°)2 больше числа sin2 50°; в) число (cos 50° + cos 40°)2 больше числа sin2 85°; г) число (tg 57° + tg З0)2 больше числа (cos 54° + 0,5)-2?

1. $$\frac{(\sin 70^\circ+\sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ}$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin 70^\circ+\sin 50^\circ=2\sin 60^\circ\cos 10^\circ=\sqrt{3}\cos 10^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{(\sin 70^\circ+\sin 50^\circ)^2}{\sin^2 80^\circ}=\frac{3\cos^2 10^\circ}{\cos^2 10^\circ}=3.$$

2. $$\frac{(\cos 65^\circ+\sin 65^\circ)^2}{\sin^2 50^\circ}$$

   Преобразуем числитель:

   $$\cos 65^\circ+\sin 65^\circ=\sqrt{2}\cos 20^\circ.$$

   А знаменатель:

   $$\sin 50^\circ=\cos 40^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{(\cos 65^\circ+\sin 65^\circ)^2}{\sin^2 50^\circ}=\frac{2\cos^2 20^\circ}{\cos^2 40^\circ}=2.$$

3. $$\frac{(\cos 50^\circ+\cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ}$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos 50^\circ+\cos 40^\circ=2\cos 45^\circ\cos 5^\circ=\sqrt{2}\cos 5^\circ.$$

   Кроме того,

   $$\sin 85^\circ=\cos 5^\circ.$$

   Следовательно,

   $$\frac{(\cos 50^\circ+\cos 40^\circ)^2}{\sin^2 85^\circ}=\frac{2\cos^2 5^\circ}{\cos^2 5^\circ}=2.$$

4. $$\frac{(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}}$$

   Так как

   $$\tg 57^\circ+\tg 3^\circ=\frac{\sin(57^\circ+3^\circ)}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ}=\frac{\sin 60^\circ}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ},$$

   то

   $$\tg 57^\circ+\tg 3^\circ=\frac{\sqrt{3}/2}{\cos 57^\circ\cos 3^\circ}.$$

   А

   $$\cos 54^\circ+0{,}5=\cos 54^\circ+\cos 60^\circ=2\cos 57^\circ\cos 3^\circ.$$

   Тогда

   $$\frac{(\tg 57^\circ+\tg 3^\circ)^2}{(\cos 54^\circ+0{,}5)^{-2}}=3.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$3$$.