Упр.28.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график уравнения: a) sin 2х = sin 2у; б) cos 2х = cos 2у.

а) Преобразуем разность синусов:

$$\sin 2y-\sin 2x=0$$

$$2\sin\frac{2y-2x}{2}\cdot \cos\frac{2y+2x}{2}=0$$

$$2\sin(y-x)\cdot \cos(y+x)=0$$

Отсюда:

$$\sin(y-x)=0 \quad \text{или} \quad \cos(y+x)=0.$$

1) $$\sin(y-x)=0 \Rightarrow y-x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$y=x+\pi n.$$

2) $$\cos(y+x)=0 \Rightarrow y+x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Значит, график состоит из семейства прямых $$y=x+\pi n$$ и $$y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

б) Преобразуем разность косинусов:

$$\cos 2y-\cos 2x=0$$

$$-2\sin\frac{2y+2x}{2}\cdot \sin\frac{2y-2x}{2}=0$$

$$-2\sin(y+x)\cdot \sin(y-x)=0$$

Отсюда:

$$\sin(y-x)=0 \quad \text{или} \quad \sin(y+x)=0.$$

1) $$\sin(y-x)=0 \Rightarrow y-x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$y=x+\pi n.$$

2) $$\sin(y+x)=0 \Rightarrow y+x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$

то есть

$$y=-x+\pi n.$$

Следовательно, график состоит из семейства прямых $$y=x+\pi n$$ и $$y=-x+\pi n.$$

Ответ

а) $$y=x+\pi n$$ или $$y=-x+\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$y=x+\pi n$$ или $$y=-x+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}.$$