Упр.28.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) y = 1,5 (cos (9x + 10пи)/6 + cos (9x — 10пи)/6); б) y = 2 (sin (9x + 2пи)/3 + sin (9x — 2пи)/3)

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение по формуле суммы косинусов:

$$ \cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ y=1{,}5\left(\cos \frac{9x+10\pi}{6}+\cos \frac{9x-10\pi}{6}\right) $$
$$ y=1{,}5\cdot 2\cos \frac{(9x+10\pi)+(9x-10\pi)}{2\cdot 6}\cos \frac{(9x+10\pi)-(9x-10\pi)}{2\cdot 6} $$
$$ y=3\cos \frac{18x}{12}\cos \frac{20\pi}{12} =3\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{5\pi}{3} $$
$$ \cos \frac{5\pi}{3}=\frac12 $$
$$ y=\frac32\cos \frac{3x}{2} $$

Это график функции $$y=\cos x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в $$\frac32$$ раза и растянутый от оси $$Ox$$ в $$\frac32$$ раза.

б) Преобразуем выражение по формуле суммы синусов:

$$ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$

$$ y=2\left(\sin \frac{9x+2\pi}{3}+\sin \frac{9x-2\pi}{3}\right) $$
$$ y=2\cdot 2\sin \frac{(9x+2\pi)+(9x-2\pi)}{2\cdot 3}\cos \frac{(9x+2\pi)-(9x-2\pi)}{2\cdot 3} $$
$$ y=4\sin \frac{18x}{6}\cos \frac{4\pi}{6} =4\sin 3x\cos \frac{2\pi}{3} $$
$$ \cos \frac{2\pi}{3}=-\frac12 $$
$$ y=-2\sin 3x $$

Это график функции $$y=\sin x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 3 раза, отражённый относительно оси $$Ox$$ и растянутый от оси $$Ox$$ в 2 раза.