Упр.28.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: При каких значениях х числа а, b, с образуют арифметическую прогрессию, если: a) а = cos 7х, b = cos 2x, с = cos 11x; б) a = sin 3x, b = cos x, с = sin 5x?

Для трёх последовательных членов арифметической прогрессии выполняется условие

$$2b=a+c.$$

а) $$a=\cos 7x,\quad b=\cos 2x,\quad c=\cos 11x.$$

Тогда

$$2\cos 2x=\cos 7x+\cos 11x.$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos 7x+\cos 11x=2\cos 9x\cos 2x.$$

Получаем

$$2\cos 2x=2\cos 9x\cos 2x,$$

$$\cos 2x\,(1-\cos 9x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 9x=1.$$

1) $$\cos 2x=0$$, значит

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 9x=1$$, значит

$$9x=2\pi n,\quad x=\frac{2\pi n}{9}.$$

б) $$a=\sin 3x,\quad b=\cos x,\quad c=\sin 5x.$$

Тогда

$$2\cos x=\sin 3x+\sin 5x.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x.$$

Получаем

$$2\cos x=2\sin 4x\cos x,$$

$$\cos x\,(1-\sin 4x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=1.$$

1) $$\cos x=0$$, значит

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\sin 4x=1$$, значит

$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{2\pi n}{9},\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$