Упр.28.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2,5): a) cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x; б) sin 2x + 5sin 4x + sin 6x = 0.

а) Преобразуем левую и правую части по формуле суммы косинусов:

$$ \cos 6x+\cos 8x-\cos 10x-\cos 12x=0 $$
$$ (\cos 6x-\cos 10x)+(\cos 8x-\cos 12x)=0 $$
$$ 2\sin 8x\sin 2x+2\sin 10x\sin 2x=0 $$
$$ 2\sin 2x(\sin 8x+\sin 10x)=0 $$
$$ 2\sin 2x\cdot 2\sin 9x\cos x=0 $$
$$ \sin 2x\cdot \sin 9x\cdot \cos x=0 $$

Отсюда:

$$ \sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2} $$
$$ \sin 9x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{9} $$
$$ \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n $$

На промежутке $$\left(0;\frac{5\pi}{2}\right)$$ получаем:

$$ x=\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \pi,\ \frac{10\pi}{9},\ \frac{11\pi}{9},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{13\pi}{9},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{14\pi}{9},\ \frac{5\pi}{2} $$

б) Преобразуем выражение:

$$ \sin 2x+5\sin 4x+\sin 6x=0 $$
$$ (\sin 6x+\sin 2x)+5\sin 4x=0 $$
$$ 2\sin 4x\cos 2x+5\sin 4x=0 $$
$$ \sin 4x(2\cos 2x+5)=0 $$

Тогда:

$$ \sin 4x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{4} $$
$$ 2\cos 2x+5=0 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x=-\frac{5}{2} $$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$.

На промежутке $$\left(0;\frac{5\pi}{2}\right)$$ из первого уравнения получаем:

$$ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{7\pi}{4},\ 2\pi,\ \frac{9\pi}{4} $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{2\pi}{9},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{9},\ \frac{5\pi}{9},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{7\pi}{9},\ \pi,\ \frac{10\pi}{9},\ \frac{11\pi}{9},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{13\pi}{9},\ \frac{7\pi}{3},\ \frac{14\pi}{9},\ \frac{5\pi}{2}$$;
б) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{7\pi}{4},\ 2\pi,\ \frac{9\pi}{4}$$.