Упр.28.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке [0;пи/2]: a) sin 2х + sin 6х = cos 2х; б) 2 cos2 х — 1 = sin 3х?
а) $$\sin 2x+\sin 6x=\cos 2x$$
Применим формулу суммы синусов:
$$ \sin 2x+\sin 6x=2\sin 4x\cos 2x $$
Тогда
$$ 2\sin 4x\cos 2x-\cos 2x=0 $$
$$ \cos 2x\,(2\sin 4x-1)=0 $$
Отсюда:
$$ \cos 2x=0 $$
или
$$ 2\sin 4x-1=0 $$
1) $$\cos 2x=0$$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{4} $$
2) $$2\sin 4x-1=0$$
$$ \sin 4x=\frac12 $$
$$ 4x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{24},\ \frac{5\pi}{24} $$
Итак, всего 3 корня.
б) $$2\cos^2 x-1=\sin 3x$$
Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:
$$ \cos 2x=\sin 3x $$
Представим $$\cos 2x$$ как синус:
$$ \sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 3x $$
Тогда
$$ \sin 3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0 $$
Применим формулу разности синусов:
$$ 2\cos\frac{3x+\frac{\pi}{2}-2x}{2}\sin\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0 $$
$$ 2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
Отсюда:
$$ \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
или
$$ \sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
1) $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{2} $$
2) $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
$$ \frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5} $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$ x=\frac{\pi}{10},\ \frac{\pi}{2} $$
Итак, всего 2 корня.
Ответ
а) 3; б) 2.
