Упр.28.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х + sin 3x + cos x + cos 3x = 0; 6) sin 5x + sin x + 2 sin2 x = 1.

а)

$$ \sin x+\sin 3x+\cos x+\cos 3x=0 $$
$$ 2\sin 2x\cos x+2\cos 2x\cos x=0 $$
$$ 2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos x=0 $$
или
$$ \sin 2x+\cos 2x=0 $$

1) $$\cos x=0$$, значит

$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$\sin 2x+\cos 2x=0$$, тогда

$$ \tan 2x=-1 $$
$$ 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

б)

$$ \sin 5x+\sin x+2\sin^2 x=1 $$
$$ 2\sin 3x\cos 2x+(1-\cos 2x)=1 $$
$$ 2\sin 3x\cos 2x-\cos 2x=0 $$
$$ \cos 2x(2\sin 3x-1)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 2x=0 $$
или
$$ 2\sin 3x-1=0 $$

1) $$\cos 2x=0$$, значит

$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$\sin 3x=\frac12$$, тогда

$$ 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$