Упр.28.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) tg х + tg 5x = 0; 6) tg 3x = ctg x; в) tg 2x = tg 4x; r) ctg x/2 + ctg 3x/2 = 0.

1. а) $$\tg x+\tg 5x=0$$

   $$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin 5x}{\cos 5x}=0$$
   $$\frac{\sin x\cos 5x+\sin 5x\cos x}{\cos x\cos 5x}=0$$
   $$\frac{\sin 6x}{\cos x\cos 5x}=0$$
   $$\sin 6x=0$$
   $$6x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{6}$$

   Проверим ОДЗ:
   $$\cos x\ne 0,\quad \cos 5x\ne 0$$
   Значит,
   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x\ne \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}$$
   Получаем, что из найденных значений нужно исключить
   $$x=\frac{\pi(6k+3)}{6}$$
   то есть случаи, когда $$n=6k+3$$.

   $$x=\frac{\pi n}{6},\quad n\ne 6k+3,\ k\in\mathbb Z$$

2. б) $$\tg 3x=\ctg x$$

   $$\ctg x-\tg 3x=0$$
   $$\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=0$$
   $$\frac{\cos x\cos 3x-\sin x\sin 3x}{\sin x\cos 3x}=0$$
   $$\frac{\cos( x+3x)}{\sin x\cos 3x}=0$$
   $$\cos 4x=0$$
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

   ОДЗ:
   $$\sin x\ne 0,\quad \cos 3x\ne 0$$
   найденные значения этим ограничениям не противоречат.

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) $$\tg 2x=\tg 4x$$

   $$\tg 4x-\tg 2x=0$$
   $$\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=0$$
   $$\frac{\sin 4x\cos 2x-\sin 2x\cos 4x}{\cos 2x\cos 4x}=0$$
   $$\frac{\sin(4x-2x)}{\cos 2x\cos 4x}=0$$
   $$\sin 2x=0$$
   $$2x=\pi n$$
   $$x=\frac{\pi n}{2}$$

   ОДЗ:
   $$\cos 2x\ne 0,\quad \cos 4x\ne 0$$
   При $$x=\frac{\pi n}{2}$$ эти условия выполняются.

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

4. г) $$\ctg \frac{x}{2}+\ctg \frac{3x}{2}=0$$

   $$\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}+\frac{\cos \frac{3x}{2}}{\sin \frac{3x}{2}}=0$$
   $$\frac{\cos \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}\sin \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$
   $$\frac{\sin 2x}{\sin \frac{x}{2}\sin \frac{3x}{2}}=0$$
   $$\sin 2x=0$$
   $$2x=\pi n$$
   $$x=\frac{\pi n}{2}$$

   ОДЗ:
   $$\sin \frac{x}{2}\ne 0,\quad \sin \frac{3x}{2}\ne 0$$
   Поэтому из общего решения остаются только
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{и} \quad x=\pi+2\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{6},\ n\ne 6k+3$$;
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$;
в) $$x=\frac{\pi n}{2}$$;
г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.