Упр.28.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 sin2 х + cos 5х = 1; б) 2 sin2 3x — 1 = cos2 4х — sin2 4х.

а)

$$2\sin^2 x+\cos 5x=1$$
$$1-\cos 2x+\cos 5x=1$$
$$\cos 5x-\cos 2x=0$$
$$-2\sin\frac{5x+2x}{2}\cdot\sin\frac{5x-2x}{2}=0$$
$$-2\sin\frac{7x}{2}\cdot\sin\frac{3x}{2}=0$$

Отсюда

$$\sin\frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\frac{3x}{2}=0$$

$$\frac{7x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{7}$$

$$\frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}$$

б)

$$2\sin^2 3x-1=\cos^2 4x-\sin^2 4x$$
$$1-\cos 6x-1=\cos 8x$$
$$\cos 8x+\cos 6x=0$$
$$2\cos\frac{8x+6x}{2}\cdot\cos\frac{8x-6x}{2}=0$$
$$2\cos 7x\cdot\cos x=0$$

Отсюда

$$\cos 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

$$7x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

Второе семейство входит в первое, поэтому общее решение:

$$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7}, \quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi n}{7},\ \frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z$$