Упр.28.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 3х = cos 2х; б) sin (5пи — х) = cos (2х + 7пи); в) cos 5х = sin 15x; г) sin (7пи + х) = cos (9пи + 2x).
$$\sin 3x=\cos 2x$$
$$\sin 3x-\cos 2x=0$$
$$\sin 3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
$$2\sin\frac{3x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\cdot \cos\frac{3x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
1) $$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$
2) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$
Но эти значения входят в первое семейство, поэтому
$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin(5\pi-x)=\cos(2x+7\pi)$$
$$-\sin x=-\cos 2x$$
$$\sin x=\cos 2x$$
$$\sin x-\cos 2x=0$$
$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
$$2\sin\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\cdot \cos\frac{x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
1) $$\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$
2) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, тогда
$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
Это семейство входит в первое, поэтому
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos 5x=\sin 15x$$
$$\sin 15x-\cos 5x=0$$
$$\sin 15x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$
$$2\sin\frac{15x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}\cdot \cos\frac{15x+\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}=0$$
$$\sin\left(10x-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(10x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(5x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$
1) $$10x-\frac{\pi}{4}=\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10}$$
2) $$5x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}$$
Второе семейство входит в первое, поэтому
$$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10}, \quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin(7\pi+x)=\cos(9\pi+2x)$$
$$-\sin x=-\cos 2x$$
$$\sin x=\cos 2x$$
$$\sin x-\cos 2x=0$$
$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$
$$2\sin\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}\cdot \cos\frac{x+\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}{2}=0$$
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\cdot \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Отсюда:
$$\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
1) $$\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n$$, тогда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$
2) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, тогда
$$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
Это семейство входит в первое, поэтому
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\frac{\pi}{40}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.
