Упр.28.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 1 + cos 6х = 2 sin2 5х; б) cos2 2х = cos2 4х; в) sin2 x/2 = cos2 7x/2; г) sin2 х + sin2 3х = 1.

1. а)

   $$1+\cos 6x=2\sin^2 5x$$
   $$1+\cos 6x=1-\cos 10x$$
   $$\cos 6x+\cos 10x=0$$
   $$2\cos 8x\cdot \cos 2x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$
   $$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

2. б)

   $$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$
   $$\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2}$$
   $$\cos 4x-\cos 8x=0$$
   $$-2\sin 6x\cdot \sin 2x=0$$

   Следовательно,

   $$\sin 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0$$
   $$6x=\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi n}{6} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

   Так как множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{6}$$, то

   $$x=\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$\sin^2 \frac{x}{2}=\cos^2 \frac{7x}{2}$$
   $$\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1+\cos 7x}{2}$$
   $$-\cos x-\cos 7x=0$$
   $$\cos x+\cos 7x=0$$
   $$2\cos 4x\cdot \cos 3x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

4. г)

   $$\sin^2 x+\sin^2 3x=1$$
   $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1$$
   $$\cos 2x+\cos 6x=0$$
   $$2\cos 4x\cdot \cos 2x=0$$

   Следовательно,

   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi n}{6},\; n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$