Упр.28.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin х + sin 2х + sin Зх = 0; б) cos 3x — cos 5х = sin 4х.

а)

$$ \sin x+\sin 2x+\sin 3x=0 $$
$$ (\sin x+\sin 3x)+\sin 2x=0 $$
$$ 2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0 $$
$$ \sin 2x\,(2\cos x+1)=0 $$
Отсюда:
$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0. $$
1) $$\sin 2x=0$$, тогда
$$ 2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$
2) $$2\cos x+1=0$$, тогда
$$ \cos x=-\frac12, $$
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б)

$$ \cos 3x-\cos 5x=\sin 4x $$
$$ -2\sin\frac{3x-5x}{2}\sin\frac{3x+5x}{2}=\sin 4x $$
$$ -2\sin(-x)\sin 4x=\sin 4x $$
$$ 2\sin x\sin 4x-\sin 4x=0 $$
$$ \sin 4x\,(2\sin x-1)=0 $$
Отсюда:
$$ \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0. $$
1) $$\sin 4x=0$$, тогда
$$ 4x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z. $$
2) $$2\sin x-1=0$$, тогда
$$ \sin x=\frac12, $$
$$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$