Упр.28.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) cos х + cos Зх = 0; б) sin 12х + sin 4х = 0; в) cos х = cos 5х; г) sin 3х = sin 17х.

1. а)

   $$\cos x+\cos 3x=0$$
   $$2\cos\frac{x+3x}{2}\cdot \cos\frac{3x-x}{2}=0$$
   $$2\cos 2x\cdot \cos x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. б)

   $$\sin 12x+\sin 4x=0$$
   $$2\sin\frac{12x+4x}{2}\cdot \cos\frac{12x-4x}{2}=0$$
   $$2\sin 8x\cdot \cos 4x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

   $$8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$

3. в)

   $$\cos x=\cos 5x$$
   $$\cos 5x-\cos x=0$$
   $$-2\sin\frac{5x+x}{2}\cdot \sin\frac{5x-x}{2}=0$$
   $$\sin 3x\cdot \sin 2x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

   $$3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. г)

   $$\sin 3x=\sin 17x$$
   $$\sin 17x-\sin 3x=0$$
   $$2\sin\frac{17x-3x}{2}\cdot \cos\frac{17x+3x}{2}=0$$
   $$\sin 7x\cdot \cos 10x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 10x=0.$$

   $$7x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{7}, \quad n\in\mathbb Z,$$

   $$10x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10}, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{\pi n}{7},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z.$$