Упр.28.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите: a) если cos2 х + cos2 у = m, то cos (х + у) cos (х — у) = m — 1. б) если cos2 (х + у) + sin2 х + sin2 у = т, то sin x sin у cos (х + y) = (1 — m)/2.

Подробный ответ

а) Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$ \cos^2 x+\cos^2 y=m $$
$$ 2\cos^2 x+2\cos^2 y=2m $$
$$ (1+\cos 2x)+(1+\cos 2y)=2m $$
$$ 2+\cos 2x+\cos 2y=2m $$
$$ 2\cos\frac{2x+2y}{2}\cos\frac{2x-2y}{2}=2m-2 $$
$$ 2\cos(x+y)\cos(x-y)=2m-2 $$
$$ \cos(x+y)\cos(x-y)=m-1. $$

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$ \cos^2(x+y)+\sin^2 x+\sin^2 y=m $$
$$ 2\cos^2(x+y)+2\sin^2 x+2\sin^2 y=2m $$
$$ 2\cos^2(x+y)+(1-\cos 2x)+(1-\cos 2y)=2m $$
$$ 2\cos^2(x+y)+2-(\cos 2x+\cos 2y)=2m $$
$$ 2\cos^2(x+y)-2\cos(x+y)\cos(x-y)=2m-2 $$
$$ \cos(x+y)\bigl(\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr)=m-1. $$

По формуле $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$ получаем:

$$ \cos(x+y)\bigl(\cos(x+y)-\cos(x-y)\bigr) $$
$$ =\cos(x+y)\cdot\bigl(-2\sin x\sin y\bigr) $$
$$ =-2\sin x\sin y\cos(x+y)=m-1. $$

$$ \sin x\sin y\cos(x+y)=\frac{1-m}{2}. $$