Упр.28.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите: a) если 2 sin х = sin (x + 2у), то tg (x + у) = 3 tg у; б) если 2 cos x = cos (х + 2y), то ctg (х + у) — 2 tg х = tg x + ctg у.

Подробный ответ

а) Из условия имеем:

$$2\sin x=\sin(x+2y).$$

Используем формулу разности синусов:

$$\sin(x+2y)-\sin x=2\sin\frac{(x+2y)-x}{2}\cos\frac{(x+2y)+x}{2}=2\sin y\cos(x+y).$$

Значит,

$$\sin x=2\sin y\cos(x+y).$$

Докажем требуемое равенство:

$$\tg(x+y)-3\tg y=0.$$

Преобразуем левую часть:

$$ \begin{aligned} \tg(x+y)-3\tg y &=\frac{\sin(x+y)}{\cos(x+y)}-\frac{3\sin y}{\cos y} \\ &=\frac{\sin(x+y)\cos y-3\sin y\cos(x+y)}{\cos(x+y)\cos y}. \end{aligned} $$

Так как $$\sin x=\sin\bigl((x+y)-y\bigr)=\sin(x+y)\cos y-\cos(x+y)\sin y,$$ то

$$ \sin(x+y)\cos y-3\sin y\cos(x+y) =\sin x-2\sin y\cos(x+y). $$

Но по условию $$\sin x=2\sin y\cos(x+y),$$ значит числитель равен нулю. Следовательно,

$$\tg(x+y)-3\tg y=0,$$

то есть

$$\tg(x+y)=3\tg y.$$

б) Из условия:

$$2\cos x=\cos(x+2y).$$

Используем формулу разности косинусов:

$$\cos(x+2y)-\cos x=-2\sin\frac{(x+2y)+x}{2}\sin\frac{(x+2y)-x}{2}=-2\sin(x+y)\sin y.$$

Тогда

$$\cos x=-2\sin(x+y)\sin y.$$

Докажем равенство

$$\ctg(x+y)-2\tg x=\tg x+\ctg y.$$

Преобразуем левую часть:

$$ \begin{aligned} \ctg(x+y)-2\tg x-\tg x-\ctg y &=\ctg(x+y)-3\tg x-\ctg y \\ &=\frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)}-\frac{\cos y}{\sin y}-3\frac{\sin x}{\cos x}. \end{aligned} $$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$ \frac{\cos(x+y)}{\sin(x+y)}-\frac{\cos y}{\sin y} =\frac{\cos(x+y)\sin y-\cos y\sin(x+y)}{\sin(x+y)\sin y} =\frac{\sin(y-(x+y))}{\sin(x+y)\sin y} =-\frac{\sin x}{\sin(x+y)\sin y}. $$

Из условия $$\cos x=-2\sin(x+y)\sin y,$$ значит

$$ -\frac{\sin x}{\sin(x+y)\sin y} =\frac{2\sin x}{\cos x} =2\tg x. $$

Тогда

$$\ctg(x+y)-\ctg y=2\tg x,$$

откуда

$$\ctg(x+y)-2\tg x=\tg x+\ctg y.$$