Упр.28.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) Зная, что sin 2х + sin 2у = a, cos 2х + cos 2у = b (а не равен 0, b не равен 0), вычислите tg (х + у); б) зная, что sin х — sin у = a, cos x — cos у = b (а не равен 0, b не равен 0), вычислите ctg (x + y)/2.

1. Используем формулы приведения суммы тригонометрических функций к произведению:

   $$\sin 2x+\sin 2y=2\sin(x+y)\cos(x-y)=a,$$
   $$\cos 2x+\cos 2y=2\cos(x+y)\cos(x-y)=b.$$

   Тогда

   $$\frac{\sin(x+y)\cos(x-y)}{\cos(x+y)\cos(x-y)}=\frac{a/2}{b/2}.$$

   Сокращаем общий множитель:

   $$\tg(x+y)=\frac{a}{b}.$$

2. Аналогично:

   $$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=a,$$
   $$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=b.$$

   Делим первое равенство на второе:

   $$\frac{2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}{-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}}=\frac{a}{b}.$$

   Получаем

   $$-\ctg\frac{x+y}{2}=\frac{a}{b},$$
   значит
   $$\ctg\frac{x+y}{2}=-\frac{a}{b}.$$

Ответ

а) $$\tg(x+y)=\frac{a}{b}$$; б) $$\ctg\frac{x+y}{2}=-\frac{a}{b}$$.