Упр.28.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что если а + b + у = пи, то выполняется равенство: a) tg a + tg b + tg y = tg a tg b tg y; б) sin a + sin b + sin y = 4cos a/2 cos b/2 cos y/2.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta).$$

а) Преобразуем левую часть:

$$ \tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}+\tg(\pi-(\alpha+\beta)) $$

$$ =\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}-\tg(\alpha+\beta) $$

$$ =\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}-\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} $$

$$ =\frac{\sin(\alpha+\beta)\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos\alpha\cos\beta\bigr)}{\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)} $$

Так как $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$ то

$$ \cos(\alpha+\beta)-\cos\alpha\cos\beta=-\sin\alpha\sin\beta. $$

Следовательно,

$$ \tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma =\frac{-\sin(\alpha+\beta)\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta\cos(\alpha+\beta)}. $$

Но $$\sin(\alpha+\beta)=\sin(\pi-\gamma)=\sin\gamma,$$ а $$\cos(\alpha+\beta)=\cos(\pi-\gamma)=-\cos\gamma.$$ Тогда

$$ \tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma =\frac{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma} =\tg\alpha\cdot\tg\beta\cdot\tg\gamma. $$

б) Используем формулу суммы синусов:

$$ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. $$

Тогда

$$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\sin(\alpha+\beta). $$

Так как $$\gamma=\pi-(\alpha+\beta),$$ то

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin(\pi-\gamma)=\sin\gamma. $$

Удобнее сразу применить формулу к сумме $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta):$$

$$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =\sin\alpha+\sin\beta+\sin(\alpha+\beta) $$

$$ =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} +2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $$

$$ =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right). $$

По формуле суммы косинусов:

$$ \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}, $$

получаем

$$ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}+\cos\frac{\alpha+\beta}{2} =2\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}. $$

Кроме того,

$$ \sin\frac{\alpha+\beta}{2} =\sin\frac{\pi-\gamma}{2} =\cos\frac{\gamma}{2}. $$

Значит,

$$ \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}. $$

Ответ

$$\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\cdot\tg\beta\cdot\tg\gamma,$$

$$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.$$