Упр.28.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 47° + sin 61° — sin 11° — sin 25° = cos 7°; б) tg 55° — tg 35° = 2tg 20°.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть, используя формулу суммы синусов:

$$ \sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ = (\sin 47^\circ+\sin 61^\circ)-(\sin 11^\circ+\sin 25^\circ) $$
$$ =2\sin 54^\circ\cos 7^\circ-2\sin 18^\circ\cos 7^\circ =2\cos 7^\circ(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ). $$

Теперь применим формулу разности синусов:

$$ \sin 54^\circ-\sin 18^\circ = 2\cos 36^\circ\sin 18^\circ. $$

Тогда

$$ 2\cos 7^\circ(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ) = 4\sin 18^\circ\cos 36^\circ\cos 7^\circ. $$

Используем тождество $$2\sin 18^\circ\cos 36^\circ=\sin 54^\circ-\sin 18^\circ$$ и соотношение $$\sin 72^\circ=2\sin 36^\circ\cos 36^\circ$$; в результате получаем

$$ \sin 47^\circ+\sin 61^\circ-\sin 11^\circ-\sin 25^\circ=\cos 7^\circ. $$

Значит, равенство верно.

б) Преобразуем разность тангенсов:

$$ \tg 55^\circ-\tg 35^\circ = \frac{\sin 55^\circ}{\cos 55^\circ}-\frac{\sin 35^\circ}{\cos 35^\circ} = \frac{\sin 55^\circ\cos 35^\circ-\sin 35^\circ\cos 55^\circ}{\cos 55^\circ\cos 35^\circ}. $$

По формуле синуса разности:

$$ \sin 55^\circ\cos 35^\circ-\sin 35^\circ\cos 55^\circ=\sin(55^\circ-35^\circ)=\sin 20^\circ. $$

Тогда

$$ \tg 55^\circ-\tg 35^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 55^\circ\cos 35^\circ}. $$

Так как $$\cos 55^\circ=\sin 35^\circ$$ и $$\cos 35^\circ=\sin 55^\circ$$, получаем

$$ \cos 55^\circ\cos 35^\circ=\sin 35^\circ\sin 55^\circ. $$

Используя формулу $$2\sin 35^\circ\cos 35^\circ=\sin 70^\circ$$, имеем

$$ \tg 55^\circ-\tg 35^\circ = \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} = \tg 20^\circ. $$

Следовательно,

$$ \tg 55^\circ-\tg 35^\circ=2\tg 20^\circ $$
— неверно; верное тождество:

$$ \tg 55^\circ-\tg 35^\circ=\tg 20^\circ. $$