Упр.28.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 87° — sin 59° — sin 93° + sin 61° = sin 1°; б) cos 115° — cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°.

Подробный ответ

а)

$$ \sin 87^\circ-\sin 59^\circ-\sin 93^\circ+\sin 61^\circ $$
$$ =(\sin 61^\circ-\sin 59^\circ)-(\sin 93^\circ-\sin 87^\circ) $$
$$ =2\sin \frac{61^\circ-59^\circ}{2}\cos \frac{61^\circ+59^\circ}{2} -2\sin \frac{93^\circ-87^\circ}{2}\cos \frac{93^\circ+87^\circ}{2} $$
$$ =2\sin 1^\circ\cos 60^\circ-2\sin 3^\circ\cos 90^\circ $$
$$ =2\sin 1^\circ\cdot \frac12-2\sin 3^\circ\cdot 0 =\sin 1^\circ. $$
Следовательно, равенство верно.

б)

$$ \cos 115^\circ-\cos 35^\circ+\cos 65^\circ+\cos 25^\circ $$
$$ =(\cos 25^\circ-\cos 35^\circ)+(\cos 115^\circ+\cos 65^\circ) $$
$$ =-2\sin \frac{25^\circ+35^\circ}{2}\sin \frac{25^\circ-35^\circ}{2} +2\cos \frac{115^\circ+65^\circ}{2}\cos \frac{115^\circ-65^\circ}{2} $$
$$ =-2\sin 30^\circ\sin(-5^\circ)+2\cos 90^\circ\cos 25^\circ $$
$$ =2\cdot \frac12 \sin 5^\circ+2\cdot 0\cdot \cos 25^\circ =\sin 5^\circ. $$
Следовательно, равенство верно.