Упр.28.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Проверьте равенство: a) sin 35° + sin 25° = cos 5°; б) sin 40° + cos 70° = cos 10°; в) cos 12° — cos 48° = sin 18°; г) cos 20° — sin 50° = sin 10°.
Проверим равенство
$$\sin 35^\circ+\sin 25^\circ=\cos 5^\circ.$$
Используем формулу суммы синусов:
$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
Тогда
$$ \sin 35^\circ+\sin 25^\circ =2\sin 30^\circ\cos 5^\circ =2\cdot \frac12 \cos 5^\circ =\cos 5^\circ. $$
Равенство верно.
Проверим равенство
$$\sin 40^\circ+\cos 70^\circ=\cos 10^\circ.$$
Так как $$\cos 70^\circ=\sin 20^\circ,$$ получаем
$$\sin 40^\circ+\sin 20^\circ.$$
Применим формулу суммы синусов:
$$ \sin 40^\circ+\sin 20^\circ =2\sin 30^\circ\cos 10^\circ =2\cdot \frac12 \cos 10^\circ =\cos 10^\circ. $$
Равенство верно.
Проверим равенство
$$\cos 12^\circ-\cos 48^\circ=\sin 18^\circ.$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
Тогда
$$ \cos 12^\circ-\cos 48^\circ =-2\sin 30^\circ\sin(-18^\circ) =-2\cdot \frac12 \cdot (-\sin 18^\circ) =\sin 18^\circ. $$
Равенство верно.
Проверим равенство
$$\cos 20^\circ-\sin 50^\circ=\sin 10^\circ.$$
Так как $$\sin 50^\circ=\cos 40^\circ,$$ то
$$\cos 20^\circ-\sin 50^\circ=\cos 20^\circ-\cos 40^\circ.$$
Применим формулу разности косинусов:
$$ \cos 20^\circ-\cos 40^\circ =-2\sin 30^\circ\sin(-10^\circ) =-2\cdot \frac12 \cdot (-\sin 10^\circ) =\sin 10^\circ. $$
Равенство верно.
Ответ
а) верно; б) верно; в) верно; г) верно.
