Упр.28.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos 24° + cos 48° — cos 84° — cos 12°; б) tg 9° — tg 63° + tg 81° — tg 27°.

а)

$$\cos 24^\circ+\cos 48^\circ-\cos 84^\circ-\cos 12^\circ$$
$$=(\cos 48^\circ+\cos 24^\circ)-(\cos 84^\circ+\cos 12^\circ)$$
$$=2\cos 36^\circ\cos 12^\circ-2\cos 48^\circ\cos 36^\circ$$
$$=2\cos 36^\circ(\cos 12^\circ-\cos 48^\circ)$$
$$=2\cos 36^\circ\cdot\left(-2\sin 30^\circ\sin(-18^\circ)\right)$$
$$=2\cos 36^\circ\cdot 2\sin 18^\circ\cdot \frac12$$
$$=2\cos 36^\circ\sin 18^\circ$$
$$=\frac{2\cos 36^\circ\sin 18^\circ\cos 18^\circ}{\cos 18^\circ}$$
$$=\frac{\sin 36^\circ\cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}$$
$$=\frac{\sin 72^\circ}{2}= \frac12.$$

б)

$$\tg 9^\circ-\tg 63^\circ+\tg 81^\circ-\tg 27^\circ$$
$$=(\tg 9^\circ+\tg 81^\circ)-(\tg 63^\circ+\tg 27^\circ)$$
$$=\left(\frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}+\frac{\sin 81^\circ}{\cos 81^\circ}\right)-\left(\frac{\sin 63^\circ}{\cos 63^\circ}+\frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ}\right)$$
$$=\frac{\sin(9^\circ+81^\circ)}{\cos 9^\circ\cos 81^\circ}-\frac{\sin(63^\circ+27^\circ)}{\cos 63^\circ\cos 27^\circ}$$
$$=\frac{\sin 90^\circ}{\cos 9^\circ\cos 81^\circ}-\frac{\sin 90^\circ}{\cos 63^\circ\cos 27^\circ}$$
$$=\frac{1}{\cos 9^\circ\sin 9^\circ}-\frac{1}{\sin 27^\circ\cos 27^\circ}$$
$$=\frac{2}{\sin 18^\circ}-\frac{2}{\sin 54^\circ}$$
$$=\frac{2(\sin 54^\circ-\sin 18^\circ)}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ}$$
$$=\frac{2\cdot 2\cos 36^\circ\sin 18^\circ}{\sin 18^\circ\sin 54^\circ}$$
$$=\frac{4\cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}=4.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$4$$.