Упр.28.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a) / (cos a + cos 3a + cos 3a + cos 7a), если ctg 4a = 0,2; б) (sin x — sin 2x + sin 3x — sin 4x) / (cos x — cos 2x + cos 3x — cos 4x), если tg 5x/4 = 2.

Подробный ответ

а) Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы синусов и косинусов:

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} = \frac{(\sin a+\sin 7a)+(\sin 3a+\sin 5a)}{(\cos a+\cos 7a)+(\cos 3a+\cos 5a)} $$

$$ = \frac{2\sin 4a\cos 3a+2\sin 4a\cos a}{2\cos 4a\cos 3a+2\cos 4a\cos a} = \frac{2\sin 4a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 4a(\cos 3a+\cos a)} = \tg 4a $$

Так как $$\ctg 4a=0{,}2,$$ то

$$ \tg 4a=\frac{1}{\ctg 4a}=\frac{1}{0{,}2}=5 $$

б) Аналогично преобразуем выражение:

$$ \frac{\sin x-\sin 2x+\sin 3x-\sin 4x}{\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x} = \frac{(\sin 3x-\sin 2x)-(\sin 4x-\sin x)}{(\cos 3x-\cos 2x)-(\cos 4x-\cos x)} $$

$$ = \frac{2\cos \frac{3x+2x}{2}\sin \frac{3x-2x}{2}-2\cos \frac{4x+x}{2}\sin \frac{4x-x}{2}} {-2\sin \frac{3x+2x}{2}\sin \frac{3x-2x}{2}+2\sin \frac{4x+x}{2}\sin \frac{4x-x}{2}} $$

$$ = \frac{2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}-2\cos \frac{5x}{2}\sin \frac{3x}{2}} {-2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{3x}{2}} = -\ctg \frac{5x}{2} $$

Если $$\tg \frac{5x}{4}=2,$$ то

$$ -\ctg \frac{5x}{2} = -\frac{1-\tg^2 \frac{5x}{4}}{2\tg \frac{5x}{4}} = -\frac{1-2^2}{2\cdot 2} = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $$