Упр.28.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 (а + b) — sin2 (а — b) = sin 2а sin 2b; б) cos2 (а — b) — cos2 (а + b) = sin 2а sin 2b.

а) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\bigl(\sin(a+b)-\sin(a-b)\bigr)\bigl(\sin(a+b)+\sin(a-b)\bigr) $$
$$ =2\cos\frac{(a+b)+(a-b)}{2}\cdot 2\sin\frac{(a+b)-(a-b)}{2} $$
$$ \cdot 2\sin\frac{(a+b)+(a-b)}{2}\cdot 2\cos\frac{(a+b)-(a-b)}{2} $$
$$ =4\cos a\sin b\cdot 2\sin a\cos b =8\sin a\cos a\sin b\cos b $$
$$ =\sin 2a\cdot \sin 2b. $$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$ \cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\bigl(\cos(a-b)-\cos(a+b)\bigr)\bigl(\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr) $$
$$ =-2\sin\frac{(a-b)+(a+b)}{2}\cdot \sin\frac{(a-b)-(a+b)}{2} \cdot 2\cos\frac{(a-b)+(a+b)}{2}\cdot \cos\frac{(a-b)-(a+b)}{2} $$
$$ =-2\sin a\sin(-b)\cdot 2\cos a\cos b =8\sin a\cos a\sin b\cos b $$
$$ =\sin 2a\cdot \sin 2b. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin^2(a+b)-\sin^2(a-b)=\sin 2a\cdot \sin 2b, $$
$$ \cos^2(a-b)-\cos^2(a+b)=\sin 2a\cdot \sin 2b. $$