Упр.28.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin x + sin у + sin (x — y) = 4 sin x/2 cos x/2 cos (x-y)/2; б) (sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = tg 2x.

а) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы в произведение:

$$ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}, $$
$$ \sin(x-y)=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x-y}{2}. $$
Тогда
$$ \sin x+\sin y+\sin(x-y) =2\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2}\right). $$
Снова применим формулу суммы синусов:
$$ \sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2} =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}. $$
Получаем
$$ \sin x+\sin y+\sin(x-y) =4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}. $$

Следовательно, в записи из условия должна стоять именно $$\cos\frac{y}{2}$$, а не $$\cos\frac{x}{2}$$.

б) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x, $$
$$ \cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x. $$
Тогда
$$ \frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x} = \frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x}. $$
Вынесем общий множитель:
$$ \frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tg 2x. $$

Ответ

а) $$\sin x+\sin y+\sin(x-y)=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$$;
б) $$\dfrac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tg 2x$$.