Упр.28.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (sin (а + b) + sin (a — b)) / (cos (a +b) + cos (a — b)) = tg a; б) (cos (a — b) — cos (a + b)) / (sin (a + b) — sin (a — b)) = tg a.

а) Преобразуем сумму синусов и сумму косинусов по формулам:

$$ \sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b $$
$$ \cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b $$

Тогда

$$ \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)} = \frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\cos b} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a. $$

Следовательно, тождество верно.

б) Используем формулы разности косинусов и разности синусов:

$$ \cos(a-b)-\cos(a+b)=2\sin a\sin b $$
$$ \sin(a+b)-\sin(a-b)=2\cos a\sin b $$

Тогда

$$ \frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)} = \frac{2\sin a\sin b}{2\cos a\sin b} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a. $$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$ \text{а) } \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}=\tg a; \qquad \text{б) } \frac{\cos(a-b)-\cos(a+b)}{\sin(a+b)-\sin(a-b)}=\tg a. $$