Упр.28.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) (sin 2а + sin 6a) / (cos 2а + cos 6a) = tg 4a; б) (cos 2а — cos 4a) / (cos 2а + cos 4a) = tg 3a tg a

а) Преобразуем сумму синусов и сумму косинусов по формулам:

$$ \frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a} = \frac{2\sin \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}}{2\cos \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}} $$

$$ = \frac{2\sin 4a\cos 2a}{2\cos 4a\cos 2a} = \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg 4a. $$

Тождество доказано.

б) Используем формулу разности косинусов:

$$ \frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a} = \frac{-2\sin \frac{2a+4a}{2}\sin \frac{2a-4a}{2}}{2\cos \frac{2a+4a}{2}\cos \frac{2a-4a}{2}} $$

$$ = \frac{-2\sin 3a\sin(-a)}{2\cos 3a\cos a} = \frac{2\sin 3a\sin a}{2\cos 3a\cos a} = \frac{\sin 3a}{\cos 3a}\cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \tg 3a\cdot \tg a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\tg 4a,\qquad \frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tg 3a\cdot \tg a. $$