Упр.27.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin2 2t = (1 — cos 4t)/2; б) 2sin2 t/2 + cos t = 1; в) 2sin2 2t = 1 + sin (3пи/2 — 4t); г) 2cos2 t — cos 2t = 1.
$$\sin^2 2t=\frac{1-\cos 4t}{2}$$
Преобразуем правую часть:
$$\frac{1-\cos 4t}{2}=\frac{1-(\cos^2 2t-\sin^2 2t)}{2}=\frac{1-\cos^2 2t+\sin^2 2t}{2}=\frac{2\sin^2 2t}{2}=\sin^2 2t.$$
Тождество доказано.
$$2\sin^2 \frac{t}{2}+\cos t=1$$
Преобразуем левую часть:
$$2\sin^2 \frac{t}{2}+\cos t=2\cdot \frac{1-\cos t}{2}+\cos t=(1-\cos t)+\cos t=1.$$
Тождество доказано.
$$2\sin^2 2t=1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)$$
Преобразуем правую часть:
$$1+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-4t\right)=1-\cos 4t=2\cdot \frac{1-\cos 4t}{2}=2\sin^2 \frac{4t}{2}=2\sin^2 2t.$$
Тождество доказано.
$$2\cos^2 t-\cos 2t=1$$
Преобразуем левую часть:
$$2\cos^2 t-\cos 2t=2\cos^2 t-(\cos^2 t-\sin^2 t)=\cos^2 t+\sin^2 t=1.$$
Тождество доказано.
Ответ
Все четыре равенства являются тождествами.
