Упр.27.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) (sin t — cos t)2 = 1 — sin 2t; б) cos4 t — sin4 t = cos 2t; в) (sin t + cos t)2 = 1 + sin 2t; r) cos4 t- sin4 t = 1- 1/2sin2 2t.

1. а)

   $$\begin{aligned} (\sin t-\cos t)^2&=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t \\ &= (\sin^2 t+\cos^2 t)-2\sin t\cos t \\ &= 1-\sin 2t. \end{aligned}$$

2. б)

   $$\begin{aligned} \cos^4 t-\sin^4 t&=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t) \\ &=\cos 2t\cdot 1 \\ &=\cos 2t. \end{aligned}$$

3. в)

   $$\begin{aligned} (\sin t+\cos t)^2&=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t \\ &= (\sin^2 t+\cos^2 t)+2\sin t\cos t \\ &= 1+\sin 2t. \end{aligned}$$

4. г)

   $$\begin{aligned} \cos^4 t-\sin^4 t&=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t) \\ &=\cos 2t. \end{aligned}$$

   Правая часть равна
   $$1-\frac12\sin^2 2t=1-\frac12\cdot\frac{1-\cos 4t}{2}=\frac{3+\cos 4t}{4}.$$

   Это не тождественно равно $$\cos 2t$$, значит данное равенство не является тождеством.

Ответ

а) $$ (\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t; $$
б) $$ \cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t; $$
в) $$ (\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t; $$
г) равенство не является тождеством.