Упр.27.73 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Сколько корней имеет данное уравнение на данном промежутке: a) 2cos2 х — sin 2х = (cos х — sin x)2, (-0,5пи; 3пи); б) 6cos2 х + sin 2х = (cos х + sin х)2 + 2, (-пи; 3,5пи)?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{\sin 2x}{|\sin x|}.$$

Она имеет период $$T=\pi$$, так как

$$ y(x+\pi)=\frac{\sin 2(x+\pi)}{|\sin(x+\pi)|} =\frac{\sin(2x+2\pi)}{|\!-\sin x|} =\frac{\sin 2x}{|\sin x|} =y(x). $$

На промежутке $$0\le x\le \pi$$ имеем $$\sin x\ge 0$$, поэтому

$$ y=\frac{\sin 2x}{|\sin x|} =\frac{2\sin x\cos x}{\sin x} =2\cos x. $$

Значит, на каждом промежутке длины $$\pi$$ график совпадает с графиком функции $$y=2\cos x$$, но точки, где $$\sin x=0$$, исключаются из области определения:

$$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\,3\pi\right)$$ точки разрыва: $$x=0,\ \pi,\ 2\pi,\ 3\pi$$. Поэтому график состоит из участков косинусоиды $$y=2\cos x$$ без этих точек.

Корни уравнения соответствуют нулям функции:

$$2\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\,3\pi\right)$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2}.$$

Итак, корней 3.

б) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{\sin 2x}{-2|\cos x|}.$$

Она также имеет период $$T=\pi$$, так как

$$ y(x+\pi)=\frac{\sin 2(x+\pi)}{-2|\cos(x+\pi)|} =\frac{\sin(2x+2\pi)}{-2|-\cos x|} =\frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} =y(x). $$

На промежутке $$-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$$ имеем $$\cos x\ge 0$$, значит

$$ y=\frac{\sin 2x}{-2|\cos x|} =\frac{2\sin x\cos x}{-2\cos x} =-\sin x. $$

Область определения задаётся условием