Упр.27.71 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = 2 sin х cos х, если х = < 0, 2 sin2 если х > О,; б) y = (sin х + cos х)2, если х = < пи/4, 2 + пи/4 - x, если x > пи/4.

1. $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x-\cos x}+\sin x$$

   Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$ Тогда

   $$ y=\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{-(\cos x-\sin x)}+\sin x =-(\cos x+\sin x)+\sin x=-\cos x. $$

   Область определения:

   $$\sin x-\cos x\ne 0,$$

   $$\tg x\ne 1,$$

   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}-\cos x$$

   Преобразуем:

   $$ y=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos x+\sin x}-\cos x =\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}-\cos x =\cos x-\sin x-\cos x=-\sin x. $$

   Область определения:

   $$\cos x+\sin x\ne 0,$$

   $$\tg x\ne -1,$$

   $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x+\sin x}+\sin x$$

   Тогда

   $$ y=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos x+\sin x}+\sin x =\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}+\sin x =\cos x-\sin x+\sin x=\cos x. $$

   Область определения:

   $$\cos x+\sin x\ne 0,$$

   $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}-\cos x$$

   Преобразуем:

   $$ y=\frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\cos x-\sin x}-\cos x =\frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}-\cos x =\cos x+\sin x-\cos x=\sin x. $$

   Область определения:

   $$\cos x-\sin x\ne 0,$$

   $$\tg x\ne 1,$$

   $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$y=-\cos x,$$ $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$y=-\sin x,$$ $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$y=\cos x,$$ $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$y=\sin x,$$ $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$