Упр.27.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) y = cos 2х / (sin х — cos х) + sin x; б) y = cos 2х / (sin х + cos х) + cos x; в) y = cos 2х / (sin х + cos х) + sin x; г) y = cos 2х / (cos х — sin х) — cos x.

1. а)

   $$y=\frac{\sin 2x}{\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}=2\cos x.$$

   Выражение имеет смысл при $$\sin x\ne 0,$$ то есть при $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2. б)

   $$y=\frac{\sin 2x}{\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}=2\sin x.$$

   Выражение имеет смысл при $$\cos x\ne 0,$$ то есть при $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

3. в)

   $$y=\frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x}+\sin x.$$

   Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).$$ Тогда

   $$\frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x}=\cos x-\sin x,$$
   поэтому
   $$y=\cos x-\sin x+\sin x=\cos x.$$

   Область определения: $$\sin x+\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

4. г)

   $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}-\cos x.$$

   Так как $$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$ то

   $$\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}=\cos x+\sin x,$$
   значит
   $$y=\cos x+\sin x-\cos x=\sin x.$$

   Область определения: $$\cos x-\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$y=2\cos x,$$ $$x\ne \pi n;$$
б) $$y=2\sin x,$$ $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n;$$
в) $$y=\cos x,$$ $$x\ne -\frac{\pi}{4}+\pi n;$$
г) $$y=\sin x,$$ $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,$$
где $$n\in \mathbb{Z}.$$