Упр.27.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) 2 / (tg t + ctg t); б) 2 / (tg t — ctg t); в) (1 — tg2 t) cos t; г) (tg t + ctg t) sin 2t.

1. $$\frac{2}{\tg t+\ctg t}=\frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{2}{\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cos t}}=2\sin t\cos t=\sin 2t.$$
2. $$\frac{2}{\tg t-\ctg t}=\frac{2}{\frac{\sin t}{\cos t}-\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{2}{\frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{\sin t\cos t}}=\frac{2\sin t\cos t}{\sin^2 t-\cos^2 t}.$$
   Так как $$\sin^2 t-\cos^2 t=-(\cos^2 t-\sin^2 t)=-\cos 2t,$$ а $$2\sin t\cos t=\sin 2t,$$ то
   $$\frac{2}{\tg t-\ctg t}=-\tg 2t.$$
3. $$\left(1-\tg^2 t\right)\cos^2 t=\left(1-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)\cos^2 t=\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t.$$
4. $$\left(\tg t+\ctg t\right)\sin 2t=\left(\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}\right)\cdot 2\sin t\cos t$$
   $$=\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos t=2.$$

Ответ

а) $$\sin 2t$$; б) $$-\tg 2t$$; в) $$\cos 2t$$; г) $$2$$.