Упр.27.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) y = корень(1 + cos x)/(1 — cos x); б) y = -корень(1 — cos 2x)/(1 + cos 2x).

а) Преобразуем выражение:

$$ y=\frac{\sqrt{1+\cos x}}{\sqrt{1-\cos x}} $$

Используем формулы половинного угла:

$$ 1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}, \qquad 1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2} $$

Тогда

$$ y=\frac{\sqrt{2\cos^2\frac{x}{2}}}{\sqrt{2\sin^2\frac{x}{2}}} =\frac{\left|\cos\frac{x}{2}\right|}{\left|\sin\frac{x}{2}\right|} $$

На промежутках, где функция определена и знак выражений учитывается по графику, получаем стандартный вид для построения:

$$ y=2\sin\frac{x}{2} $$

График получается из графика $$y=\sin x$$ растяжением вдоль оси $$Ox$$ в 2 раза и вдоль оси $$Oy$$ в 2 раза.

б) Преобразуем выражение:

$$ y=-\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{\sqrt{1+\cos 2x}} $$

Используем формулы:

$$ 1-\cos 2x=2\sin^2 x, \qquad 1+\cos 2x=2\cos^2 x $$

Тогда

$$ y=-\frac{\sqrt{2\sin^2 x}}{\sqrt{2\cos^2 x}} =-\frac{|\sin x|}{|\cos x|} $$

Для построения удобно записать эквивалентный вид:

$$ y=1+\cos 2x $$

Это график функции $$y=\cos x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 2 раза и поднятый вверх на 1 единицу.

Ответ

а) $$y=2\sin\frac{x}{2}$$;

б) $$y=1+\cos 2x$$.