Упр.27.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: a) у = 4 sin x/4 cos x/4; б) у = 2cos2 х.

а) Рассмотрим функцию

$$y=\sin 3x+\cos 2x+4\sin^3 x.$$

Преобразуем её:

$$ \sin 3x=(3\sin x-4\sin^3 x), \qquad \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x. $$

Тогда

$$ y=(3\sin x-4\sin^3 x)+(1-2\sin^2 x)+4\sin^3 x $$

$$ y=-2\sin^2 x+3\sin x+1. $$

Введём замену $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=-2t^2+3t+1.$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Абсцисса вершины:

$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34. $$

Так как $$\frac34\in[-1;1]$$, наибольшее значение достигается в вершине:

$$ y_{\max}=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34+1 =-2\cdot\frac{9}{16}+\frac94+1 =\frac{17}{8}. $$

Наименьшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:

$$ y(-1)=-2\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)+1=-4, $$

$$ y(1)=-2\cdot1^2+3\cdot1+1=2. $$

Значит, $$y_{\min}=-4$$.

б) Рассмотрим функцию

$$y=\cos 3x+\cos 2x-4\cos^3 x.$$

Преобразуем:

$$ \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x,\qquad \cos 2x=2\cos^2 x-1. $$

Тогда

$$ y=(4\cos^3 x-3\cos x)+(2\cos^2 x-1)-4\cos^3 x $$

$$ y=2\cos^2 x-3\cos x-1. $$

Введём замену $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=2t^2-3t-1.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:

$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot2}=\frac34. $$

Так как $$\frac34\in[-1;1]$$, наименьшее значение достигается в вершине:

$$ y_{\min}=2\left(\frac34\right)^2-3\cdot\frac34-1 =2\cdot\frac{9}{16}-\frac94-1 =-\frac{17}{8}. $$

Наибольшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:

$$ y(-1)=2\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)-1=4, $$

$$ y(1)=2\cdot1^2-3\cdot1-1=-2. $$

Значит, $$y_{\max}=4$$.

Ответ

а) $$y_{\min}=-4,\; y_{\max}=\frac{17}{8}.$$
б) $$y_{\min}=-\frac{17}{8},\; y_{\max}=4.$$