Упр.27.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у = sin 3х + cos 2х + 4 sin3 х; б) у = cos 3х + cos 2х — 4 cos3 х.

Подробный ответ

а) $$y=3-\sin x+\cos 2x.$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ y=3-\sin x+(1-2\sin^2 x)= -2\sin^2 x-\sin x+4. $$

Обозначим $$t=\sin x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$ y=-2t^2-t+4. $$

Это парабола, ветви направлены вниз. Абсцисса вершины:

$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-2)}=-\frac14. $$

Так как $$t_0\in[-1;1]$$, находим значения функции в вершине и на концах отрезка:

$$ y(-1)=-2\cdot(-1)^2-(-1)+4=3, $$
$$ y\left(-\frac14\right)=-2\cdot\left(-\frac14\right)^2-\left(-\frac14\right)+4=\frac{33}{8}, $$
$$ y(1)=-2\cdot1^2-1+4=1. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{33}{8}$$, а наименьшее — $$1$$.

б) $$y=\cos 2x+4\cos x-1.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$ y=(2\cos^2 x-1)+4\cos x-1=2\cos^2 x+4\cos x-2. $$

Обозначим $$t=\cos x$$, тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$ y=2t^2+4t-2. $$

Это парабола, ветви направлены вверх. Абсцисса вершины:

$$ t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot2}=-1. $$

Вычислим значения на концах отрезка:

$$ y(-1)=2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-2=-4, $$
$$ y(1)=2\cdot1^2+4\cdot1-2=4. $$

Значит, наименьшее значение равно $$-4$$, а наибольшее — $$4$$.