Упр.27.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) у — 3 — sin х + cos 2х; б) у = cos 2х + 4 cos х — 1.

а) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=1-2\sin^2 x$$:

$$ y=2(1-2\sin^2 x)+\sin^2 x=2-4\sin^2 x+\sin^2 x=2-3\sin^2 x. $$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$ 2-3\le 2-3\sin^2 x\le 2, $$
то есть
$$ -1\le y\le 2. $$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ наибольшее — $$2.$$

б) $$y=2\sin^2 3x-\cos 6x$$

Используем формулу $$\cos 6x=\cos^2 3x-\sin^2 3x=1-2\sin^2 3x$$:

$$ y=2\sin^2 3x-(1-2\sin^2 3x)=4\sin^2 3x-1. $$

Так как $$0\le \sin^2 3x\le 1,$$ то

$$ -1\le 4\sin^2 3x-1\le 3. $$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ наибольшее — $$3.$$

Ответ

а) $$-1; \ 2$$

б) $$-1; \ 3$$