Упр.27.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: a) у = 2 cos 2х + sin2 х; б) у = 2 sin2 Зх — cos 6х.

а) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x.$$

Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$ Тогда

$$ y=2\cos 2x+\frac{1-\cos 2x}{2} =\frac{3\cos 2x+1}{2}. $$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

$$ \frac{3(-1)+1}{2}\le y\le \frac{3\cdot 1+1}{2}, $$

то есть

$$-1\le y\le 2.$$

Минимум достигается при $$\cos 2x=-1,$$ максимум — при $$\cos 2x=1.$$

б) $$y=2\sin^2 3x-\cos 6x.$$

Используем формулу $$\sin^2 3x=\frac{1-\cos 6x}{2}.$$ Тогда

$$ y=2\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}-\cos 6x =1-2\cos 6x. $$

Так как $$-1\le \cos 6x\le 1,$$ то

$$ 1-2\cdot 1\le y\le 1-2\cdot(-1), $$

то есть

$$-1\le y\le 3.$$

Минимум достигается при $$\cos 6x=1,$$ максимум — при $$\cos 6x=-1.$$

Ответ

а) наименьшее значение $$-1,$$ наибольшее значение $$2.$$

б) наименьшее значение $$-1,$$ наибольшее значение $$3.$$