Упр.27.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) cos2 2х — sin2 2х = < -1; б) sin 5х cos 5х > = 1/2 в) sin2 3x — cos2 3х = < -1; г) sin 2x/3 cos 2x/3 = < -1/2

1. а) $$\sin 2x \cdot \cos 2x < \frac14$$

   Используем формулу $$2\sin 2x \cos 2x=\sin 4x$$:

   $$\frac12\sin 4x<\frac14$$

   $$\sin 4x<\frac12$$

   Равенство $$\sin 4x=\frac12$$ выполняется при

   $$4x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда решение неравенства:

   $$ \frac{5\pi}{6}+2\pi n<4x<\frac{13\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   Делим на $4$:

   $$ \frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{13\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

2. б) $$\cos^2\frac{x}{4}-\sin^2\frac{x}{4}>\frac12$$

   Используем формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

   $$\cos\frac{x}{2}>\frac12$$

   Равенство $$\cos\frac{x}{2}=\frac12$$ выполняется при

   $$\frac{x}{2}=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$ -\frac{\pi}{3}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

   Умножаем на $2$:

   $$ -\frac{2\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{13\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac{2\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$