Упр.27.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) sin 2х cos 2х < 1/4 б) cos2 x/4 - sin2 x/4 > 1/2

а)

$$4\sin^2 3x<3$$
$$4\cdot \frac{1-\cos 6x}{2}<3$$
$$2-2\cos 6x<3$$
$$2\cos 6x>-1$$
$$\cos 6x>-\frac12$$

Значения, при которых выполняется равенство:
$$\cos 6x=-\frac12$$
$$6x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Тогда
$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<6x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
$$-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z$$

б)

$$4\cos^2 \frac{x}{4}>1$$
$$4\cdot \frac{1+\cos \frac{x}{2}}{2}>1$$
$$2+2\cos \frac{x}{2}>1$$
$$2\cos \frac{x}{2}>-1$$
$$\cos \frac{x}{2}>-\frac12$$

Равенство выполняется при
$$\cos \frac{x}{2}=-\frac12$$
$$\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Следовательно,
$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$
$$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z$$

б) $$-\frac{4\pi}{3}+4\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in \mathbb Z$$