Упр.27.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 4 sin2 3x < 3; б) 4 cos2 x/4 > 1.

Используем формулы:

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

1. $$\sin x+\cos x=1{,}4,\qquad 0<x<\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$ 5\sin x+5\cos x=7 $$

   $$ 5\cdot \frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}+ 5\cdot \frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}=7. $$

   Пусть $$y=\tg \frac{x}{2}$$. Тогда

   $$ \frac{10y+5(1-y^2)}{1+y^2}=7 $$

   $$ 10y+5-5y^2=7+7y^2 $$

   $$ 6y^2-5y+1=0. $$

   $$ D=25-24=1,\qquad y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}. $$

   $$ y_1=\frac13,\qquad y_2=\frac12. $$

   Так как $$0<x<\frac{\pi}{4}$$, то $$0<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{8}$$ и, значит, $$\tg \frac{x}{2}<\tg \frac{\pi}{8}=\sqrt2-1<\frac12.$$

   Следовательно, подходит только $$\tg \frac{x}{2}=\frac13.$$

2. $$\sin x-\cos x=0{,}2,\qquad \pi<x<\frac{3\pi}{2}.$$

   Тогда

   $$ 5\sin x-5\cos x=1 $$

   $$ 5\cdot \frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}- 5\cdot \frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}=1. $$

   Пусть $$y=\tg \frac{x}{2}$$. Тогда

   $$ \frac{10y-5(1-y^2)}{1+y^2}=1 $$

   $$ 10y-5+5y^2=1+y^2 $$

   $$ 4y^2+10y-6=0 $$

   $$ 2y^2+5y-3=0. $$

   $$ D=25+24=49,\qquad y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}. $$

   $$ y_1=-3,\qquad y_2=\frac12. $$

   Так как $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$, то $$\frac{\pi}{2}<\frac{x}{2}<\frac{3\pi}{4}$$, значит $$\tg \frac{x}{2}<0.$$

   Следовательно, подходит только $$\tg \frac{x}{2}=-3.$$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$-3$$.