Упр.27.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите tg x/2, если известно, что: a) sin х + cos х = 1,4; 0 < х < пи/4; б) sin х - cos х = 0,2; пи < х < 3пи/2.

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда используем формулы

$$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}, \qquad \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}.$$

а) $$\sin x+7\cos x=5.$$

Подставим выражения через $$u$$:

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2).$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2,$$

$$12u^2-2u-2=0,$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Получаем:

$$u_1=-\frac13,\qquad u_2=\frac12.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}=\frac12.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=-\arctg \frac13+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctg \frac13+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\arctg \frac12+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg \frac12+2\pi n.$$

б) $$5\sin x+10\cos x+2=0.$$

Подставим формулы:

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0,$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0,$$

$$8u^2-10u-12=0,$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Находим корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 4\cdot(-6)=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Следовательно,

$$u_1=-\frac34,\qquad u_2=2.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}=2.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=-\arctg \frac34+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctg \frac34+2\pi n,$$

$$\frac{x}{2}=\arctg 2+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg 2+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-2\arctg \frac13+2\pi n,\; x=2\arctg \frac12+2\pi n.$$

б) $$x=-2\arctg \frac34+2\pi n,\; x=2\arctg 2+2\pi n.$$