Упр.27.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: a) (sin 2t — 2sin t) / (cos t — 1); б) (cos 2t — cos2 t) / (1 — cos2 t); в) sin 2t ctg t — 1; г) 2cos2 (пи + t)/4 — 2sin2 (пи + t)/4.
$$\frac{\sin 2t-2\sin t}{\cos t-1}=\frac{2\sin t\cos t-2\sin t}{\cos t-1}=\frac{2\sin t(\cos t-1)}{\cos t-1}=2\sin t.$$
$$\frac{\cos 2t-\cos^2 t}{1-\cos^2 t}=\frac{(\cos^2 t-\sin^2 t)-\cos^2 t}{\sin^2 t}=\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t}=-1.$$
$$\sin 2t\cdot \ctg t-1=2\sin t\cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}-1=2\cos^2 t-1.$$
Так как $$2\cos^2 t-1=\cos 2t,$$ то получаем:
$$\sin 2t\cdot \ctg t-1=\cos 2t.$$$$2\cos^2\frac{\pi+t}{4}-2\sin^2\frac{\pi+t}{4}=2\left(\cos^2\frac{\pi+t}{4}-\sin^2\frac{\pi+t}{4}\right).$$
По формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ имеем:
$$2\left(\cos^2\frac{\pi+t}{4}-\sin^2\frac{\pi+t}{4}\right)=2\cos\frac{\pi+t}{2}.$$$$2\cos\frac{\pi+t}{2}=2\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}\right)=-2\sin\frac{t}{2}.$$
Ответ
а) $$2\sin t$$; б) $$-1$$; в) $$\cos 2t$$; г) $$-2\sin\frac{t}{2}$$.
