Упр.27.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Используя замену u = tg x/2 и тождества из упражнения 27.58, решите уравнение: a) sin х + 7 cos х = 5; б) 5 sin x + 10 cos х + 2 = 0.

Используем формулы универсальной тригонометрической подстановки:

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

а) Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2).$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2.$$

$$12u^2-2u-2=0.$$

$$6u^2-u-1=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Отсюда

$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}=-\frac13.$$

Тогда

$$x=2\arctg \frac12+2\pi k \quad \text{или} \quad x=2\arctg\!\left(-\frac13\right)+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

б) Пусть снова $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0.$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0.$$

$$-8u^2+10u+12=0.$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

$$D=25+96=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Отсюда

$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$

Значит,

$$\tg \frac{x}{2}=2 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}=-\frac34.$$

Тогда

$$x=2\arctg 2+2\pi k \quad \text{или} \quad x=2\arctg\!\left(-\frac34\right)+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\arctg \frac12+2\pi k$$ или $$x=2\arctg\!\left(-\frac13\right)+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$

б) $$x=2\arctg 2+2\pi k$$ или $$x=2\arctg\!\left(-\frac34\right)+2\pi k,\ k\in \mathbb Z.$$