Упр.27.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите тождество: a) sin х = 2tg x/2 / (1 + tg2 x/2); б) cos х = (1 — tg2 x/2)/(1 + tg2 x/2).

Используем формулы приведения к тангенсу половинного угла:

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Обозначим $$t=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Проверим тождества подстановкой.

a)

$$\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

б)

$$\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Обе формулы совпадают с правыми частями, значит тождества верны.

Ответ

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$