Упр.27.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) sin 2х + 2 sin х = 2 — 2 cos х; б) 4 sin 2х + 8 (sin x — cos x) = 7.

а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$

Используем формулы $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ и $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x$$:

$$ 4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2} + \left(1-\cos^2 2x\right)=3 $$
$$ 2-2\cos 2x+1-\cos^2 2x=3 $$
$$ \cos^2 2x+2\cos 2x=0 $$
$$ \cos 2x(\cos 2x+2)=0 $$

Отсюда:

$$ \cos 2x=0 $$
или
$$ \cos 2x=-2 $$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$.

Из $$\cos 2x=0$$ получаем:

$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} $$

С учётом условия $$|x|<4$$ получаем значения:

$$ x=-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} $$

б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$

Преобразуем $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$ 4\cos^2 2x+8\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=7 $$
$$ 4\cos^2 2x+4+4\cos 2x=7 $$
$$ 4\cos^2 2x+4\cos 2x-3=0 $$

Положим $$y=\cos 2x$$. Тогда:

$$ 4y^2+4y-3=0 $$
$$ D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64 $$
$$ y=\frac{-4\pm 8}{8} $$
$$ y_1=\frac12,\quad y_2=-\frac32 $$

Значение $$y_2=-\frac32$$ не подходит, так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$. Значит,

$$ \cos 2x=\frac12 $$
$$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n $$

С учётом условия $$|x|<4$$ получаем:

$$ x=-\frac{7\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6} $$

Ответ

а) $$x=-\frac{5\pi}{4},\ -\frac{3\pi}{4},\ -\frac{\pi}{4},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4}$$

б) $$x=-\frac{7\pi}{6},\ -\frac{5\pi}{6},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6}$$